04.4 Balistique -- trajectoire, hauteur maximale, point d'impact

On veut pouvoir trouver la trajectoire (pour par exemple la tracer sur un graphique), qui peut être écrite $z(x)$

On a $x={\vec{r}}_x(t)=t\cdot v_0\cdot \cos \theta$, donc pour trouver $z(x)$, on peut remplacer le terme $t$ par $x/(v_0\cos \theta )$

Définition -- Trajectoire

On trouve la trajectoire donnée par

$$z(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot {\cos }^2\theta }\cdot x^2+\frac{v_0\cdot \sin \theta }{v_0\cdot \cos \theta }x$$

On résout la hauteur maximale (= le point $S$) en posant que c’est le point ou la vitesse verticale est $=0$, donc

$${\vec{r}}_S|\begin{array}{c}{x}_S\\ 0\\ z_S\end{array}\text{et}{\vec{v}}_S|\begin{array}{c}{v}_0\cdot \cos \theta \\ 0\\ 0\end{array}$$

Et donc on a ${\vec{v}}_z(t)=0=-gt+v_0\sin \theta$ > $gt = v_{0}\cdot \sin \theta$ >

$$t=\frac{v_0\cdot \sin \theta }{g}$$

Définition -- Hauteur maximale

On trouve donc la hauteur maximale donnée par

$$\begin{array}{c}{x}_S=\frac{v_0^2\cos \theta \sin \theta }{g}\\ z_S=\frac{1}{2}\frac{(v_0^2{\sin }^2\theta )}{g}\end{array}$$

Pour trouver le point d’impact on procède de manière similaire et on trouve

Définition -- Point d'impact

On trouve le point d’impact $A$ par

$$\begin{array}{l}{x}_A=\frac{2v_0^2\cdot \cos \theta \sin \theta }{g}\\ z_A=0\end{array}$$

Proposition -- Symétrie

Vu que la trajectoire est symétrique, on a $x_A=2\cdot x_S$

04.5 Balistique — Portée maximale