04.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

Définition

Pour une matrice $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, on a

1. Le rang ligne de $A$ = la dimension de l’espace ligne de $A$

2. Le rang colonne de $A$ = la dimension de l’espace colonne de $A$

Remarques

• Le rang ligne est $\le n$, car c’est un sous espace de ${\mathbb{R}}^n$
• Le rang ligne est $\le m$ car il est engendré par $m$ vecteurs
• Le rang colonne est donc $\le n$ et $\le m$, par la même logique
• Le rang colonne de $A$ est égal au rang ligne de $A^T$
• Le rang ligne de $A$ est égal au rang colonne de $A^T$

Proposition

Pour $A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ des matrices lignes équivalentes, alors l’espace ligne de $A$ est égal à l’espace ligne de $B$ => Le rang ligne de $A$ est égal à celui de $B$

Proposition

Soit $A$ une matrice échelonnée, alors le rang ligne de $A$ est égal au nombre de pivots. Aussi, une base de l’espace ligne de $A$ est donnée par les lignes contenant un pivot.

04.10 Rang-colonne et systèmes d’équations