03.1 Espaces vectoriels -- Définition

Définition -- R-espace vectoriel

Pour $V$ un ensemble non-vide muni de l’opération $+$ et $\cdot$, c’est à dire que pour tout $u,v\in V$, il existe un élément unique $u+v$, et que pour tout $u\in V,\lambda \in \mathbb{R}$ il existe un seul élément $\lambda \cdot u\in V$

On dit que $V$ est un $\mathbb{R}$ espace vectoriel si

1. $u+v=v+u$
2. $(u+v)+w=u+(v+w)$
3. $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$
4. $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$
5. $\lambda (\mu v)=(\lambda \mu )v$
6. $1u=u$
7. Il existe un élément neutre pour $+$, càd $e\in V$ tq $e+u=u\in V$
8. Pour tout $u\in V$ il existe un inverse $u^{\prime }\in V$ tq $u+u^{\prime }=e$

On peut écrire $\lambda u$ à la place de $\lambda \cdot u$

On appelle cette opération “la multiplication par un scalaire”

Les éléments de $V$ sont appelés les vecteurs

Les éléments de $\mathbb{R}$ sont appelés les scalaire

Proposition

1. Si $u,v,w\in V$, alors si $u+v=u+w$, alors $v=w$
2. l’élément neutre existe et s’appelle le vecteur nul noté $0$ ou $0_V$
3. L’élément inverse existe et on le note $u^{\prime }=-u$
4. On a pour la multiplication $\lambda \cdot 0_V=0_V,0\cdot u=0$
5. Pour tout $u\in V$ on a $(-1)\cdot u=-u$
6. Si $v\in V$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ sont que $\lambda v=0$, alors un des éléments est nul, soit $\lambda =0$ ou $v=0_V$

03.2 L’espace des coordonnées