02.05 Matrices élémentaires

Une matrice élémentaire est une matrice identité à laquelle on a appliqué une opération élémentaire

Définition -- matrice élémentaire

Un matrice élémentaire, de taille $n\times n$ est une matrice obtenue en effectuant une seule opération élémentaire sur la matrice $I_n$. On les note

1. La matrice $T_{ij}$ la matrice obtenue en échangeant les lignes $i$ et $j$ de $I_n$
2. La matrice $D_r(\lambda )$ la matrice obtenue en multipliant la ligne $r$ de $I_n$ par $\lambda \in \mathbb{R}$
3. La matrice $L_{rs}(\lambda )$ est la matrice obtenue en ajoutant $\lambda \in \mathbb{R}$ fois la ligne $s$ à la ligne $r$ de $I_{}$

Théorème -- application des matrices élémentaires

Pour les matrices $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ et $E\in M_{m\times m}(\mathbb{R})$ élémentaire.
On a la matrice $EA$ la matrice obtenue en effectuant sur $A$ l’opération qui a été faite sur la matrice $E$

Corollaire -- Inversibilité

Les matrices élémentaires sont inversibles.
On a en plus

• $T_{ij}^{-i}=T_{ji}$
• $D_r(\lambda {)}^{-1}=D_r({\lambda }^{-1})$
• $L_{rs}(\lambda {)}^{-1}=L_{rs}(-\lambda )$

02.06 Premier critère d’inversibilité et calcul d’inverse