01.5 Matrices échelonnées, réduites

Pour avoir un système d’équation il est important de savoir “simplifier” une matrice, afin que les solutions nous semblent visuellement plus intuitives (et plus faciles à résoudre mathématiquement).

L’idée est d’utiliser les opérations élémentaires sur une matrice pour l‘“échelonner”

Définition -- une matrice "échelonnée"

Une matrice est “échelonnée”, si

1. Le premier coefficient non nul de chaque ligne est à droite de celui du premier de la ligne d’avant.
   On appelle cela un “pivot”
2. Tout ligne entièrement nulle (où tout les coefficients son $=0$) est suivie que d’autres lignes nulles

Définition -- une matrice échelonnée "réduite"

Une matrice est échelonnée “réduite”, si

1. La matrice est échelonnée
2. Chaque “pivot” est égal à $1$
3. Le seul coefficient non-nul dans chaque colonne est le pivot (si cette colonne a un pivot)

Dans une matrice augmentée, le terme de droite peut également être un pivot. Si c'est le cas, le système n'a pas de solutions (car $0\ne \lambda ,\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$)

Une matrice où tout les coefficients sont nuls est une matrice échelonnée réduite

01.6 L’élimination de Gauss