05.5 Suites définies par récurrence

Soit $x_0=\alpha \in \mathbb{R}$ et $x_{n+1}=g(x_n)$ avec la fonction $g:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$

On appelle une suite de cette forme, une suite par récurrence

Proposition

Soit $a_0\in \mathbb{R}$ avec $a_{n+1}=q{a}_n+b$ avec $q,b\in \mathbb{R}$

1. Si $|q|<1$ alors $(a_n)$ converge vers

\lim_{ n \to \infty } a_{n} = \frac{b}{1-q}

2. Si $|q|\geq 1$ alors $(a_{n})$ diverge sauf si $(a_{n})$ est une suite constante

Proposition

Soit $x_0\in \mathbb{R},x_{n+1}=g(x_n)$ et $g:E\to E\subset \mathbb{R}$

• Si $g$ est bornée, c’est-à-dire que $\exists m,M\in \mathbb{R}$ avec

m\leq g(x)\leq M\quad \forall x \in E

alors la suite est bornée - Si $g$ est croissante, c'est-à-dire que $\forall x_{1},x_{2}\in E$ on a

x_{1}\leq x_{2} \implies g(x_{1})<g(x_{2})

$$alorslasuiteestmonotone$$

Étude de suites définies par récurrence

Astuces

1. Trouver les candidats pour la limite, en supposant que cette dernière existe, Si il n’y a pas de solution, alors cette suite diverge
2. Étudier la convergence :
3. Récurrence linéaire (= une fonction de la forme $x_{n+1}=q{x}_n+b$), alors
   • Si $|q|<1$ alors ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\frac{b}{1-q}$
   • Si $|q|>1$ alors $(x_n)$ diverge, sauf si $x_n$ est constante
   • Si $|q|=1$ alors $(x_n)$ diverge, sauf si $x_n$ est constante
4. Si $x_{n+1}=g(x_n)$ avec $g$ croissante, alors on sait que la suite est monotone
   • Si $x_0<x_1$, alors la suite est croissante et on veut montrer qu’elle est majorée => elle converge
   • Si $x_0>x_1$, alors la suite est décroissante et on veut montrer qu’elle est minorée => elle converge
5. Si $x_{n+1}=g(x_n)$ mais que $g$ n’est ni linéaire ni croissante, alors on peut faire un graphique pour se donner une idée, et
6. démontrer que $(x_n)$ est une suite de Cauchy

Proposition

On a deux suites $(x_n)$ et $(a_n)$ avec

$$0<a_n<1\forall n\in \mathbb{N}$$

et que $\exists \ell \in \mathbb{R}$tel que

$$(x_{n+1}-\ell )=a_n(x_n-\ell )$$

alors $(x_n)$ converge

De la même manière, si $|x_{n+1}-\ell |\le b_n\cdot |x_n-\ell |$ et $0<b_n<\rho <1$, alors $x_n$ converge vers ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\ell$