03.1 Suites des nombres réels

Définition -- Suite

Une suite de nombres réels est une application d’une fonction $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ définie pour tout nombre naturel $n\ge n_0\in \mathbb{N}$

On note $a_n$ suite, avec $a_n=f(n)$

Bornes

Définition -- Suite majorée

Une suite est majorée s’il existe un nombre $M\in \mathbb{R}$, tel que $a_n\le M,\forall n\in \mathbb{N}$

Définition -- Suite minorée

Une suite est minorée s’il existe un nombre $m\in \mathbb{R}$, tel que $a_n\ge m,\forall n\in \mathbb{N}$

Définition -- Suite bornée

Si une suite est majorée et minorée, alors elle est bornée

Croissance

Définition -- Croissance

Une suite $(a_n)$ est croissante si $\forall n\in \mathbb{N}$ on a $a_{n+1}\ge a_n$

Elle est “strictement” croissante si l’inégalité $a_{n+1}>a_n$ est vraie $\forall n\in \mathbb{N}$

Définition -- Décroissance

Une suite $(a_n)$ est décroissante si $\forall n\in \mathbb{N}$ on $a_{n+1}\le a_n$

Elle est “strictement” décroissante si l’inégalité $a_{n+1}<a_n$ est vraie $\forall n\in \mathbb{N}$

Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

Limites des suites

Définition -- Convergence

On dit que la suite $(x_n)$ est convergente et admet pour limite le nombre réel $l\in \mathbb{R}$, si la suite semble se stabiliser autour de la valeur $l$:
On dit pour tout $ϵ>0$ il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n\ge n_0$ on a $|x_n-l|\le ϵ$

On note ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=l$

Définition -- Divergence

Si une suite ne converge pas, elle diverge

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Semaine 4

Théorème -- inégalité triangulaire

Pour tout $x,y\in \mathbb{R}$ on a que

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Proposition -- Suite bornée

Pour toute suite convergente est bornée