02.1 Nombres complexes

On a vu que $x^2=2$ n’avait pas de solution dans $\mathbb{Q}$, et qu’il fallait donc chercher dans $\mathbb{R}$

On peut donc déduire qu’il n’est pas forcément possible de trouver des solutions dans $\mathbb{R}$, par exemple $x^2=-1$

Définition -- le symbole i

Pour pouvoir résoudre cela, on introduit la notion des nombres complexes, premièrement, $i$, tel que $i^2=-1$

On considère ainsi $\{z=a+ib\}=\mathbb{C}$, avec $a,b\in \mathbb{R}$

On y trouve les opérations suivantes :

• $+$ : $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$. Cette notation nous fait penser à l’addition des vecteurs. De plus on peut remarquer qu’il existe un élément neutre => $a,b=0⟹z=0$
• $\cdot$ : $(a+ib)\cdot (c+id)=a(c+id)+ib(c+id)$ $=ac-bd+i(ad-bc)$ On y trouve également l’élément neutre $a=1,b=0⟹z=1$

Proposition pour le nombre réciproque

Soit $z=a+ib\ne 0$, alors on a le réciproque de la multiplication donné par

$$z^{-1}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$$

On remarque que vu que $z\ne 0$, alors on peut diviser par $a^2+b^2$

$\mathbb{C}$ est un corps commutatif, mais $\mathbb{C}$ n’est pas ordonné. exemple : est-ce que $i>-i$ ? On remarque que $i^2=(-i{)}^2$

Avant de passer au formes d’un nombre complexe $z$, il nous faut définir quelques notations :

• $\mathrm{Im}$ nous permet de garder uniquement la partie complexe de $z$, tel que $\mathrm{Im}(z)=b,z=a+ib$
• $\mathrm{Re}$ nous permet de garder uniquement la partie réelle de $z$, tel que $\mathrm{Re}(z)=a,z=a+ib$
• On a le module de $z$ : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, qu’on peut imaginer comme la norme du vecteur $z$, avec $\mathrm{Im}(z)$ l’axe $y$ et $\mathrm{Re}(z)$ l’axe $x$
• On a l’argument de $z$, l’angle entre l’axe $x$ et $y$, noté $\arg (z)$. Cet argument n’existe que si $z\ne 0$

Formes des nombres complexes

On a trois formes qui nous permettent de représenter les nombres complexes :

La forme cartésienne, qui est celle qu’on a vu avant

$$z=a+ib,a,b\in \mathbb{R}$$

La forme polaire, qui nous permet de représenter un nombre complexe par un angle (l’argument) et une magnitude (le module)

$$z=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi ),\rho \ge 0,\varphi \in \mathbb{R}$$

La forme polaire exponentielle, qui utilise le nombre d’Euler $e$

$$|z|e^{i\arg (z)}$$

Cette dernière formule nous permet de tirer la conclusion suivante

$$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1⟹e^{i\pi }+1=0$$

Multiplication de la forme polaire

Soient $z_1={\rho }_1{e}^{i{\varphi }_1}$ et $z_2={\rho }_2{e}^{i{\varphi }_2}$, on a

$$z_1{z}_2={\rho }_1{\rho }_2{e}^{i({\varphi }_1+{\varphi }_2)}$$

On peut l’imaginer comme une rotation, et augmentation de magnitude.

Division en forme polaire

Pour les deux même $z$, on trouve l’inverse de $z_1^{-1}=\frac{1}{p}{e}^{-i\varphi }$

On trouve donc que $\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}{e}^{i(\varphi 1-\varphi 2)}$

Formule De Moivre

On a pour tout $\rho >0,\varphi \in \mathbb{R},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a la formule De Moivre donnée par

$$z^n=(\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi ){)}^n={\rho }^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))$$

On peut aussi la trouver en forme polaire exponentielle :

$$z^n={\left(\rho e^{i\varphi }\right)}^n={\rho }^n{e}^{in\varphi }$$

Conjugaison

Pour un complexe $z=a+ib$, on trouve le conjugué $\bar{z}$ de $z$ donné par $\bar{z}=a-ib$

Sous la forme polaire, ou la forme polaire exponentielle, on a

• $\bar{z}=\rho (\cos \varphi -i\sin \varphi )=\rho (\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi ))$
• $\bar{z}=\rho e^{-i\varphi }$

Propriétés de la conjugaison

1. $\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm \bar{w}$
2. $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$
3. $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}},w\ne 0$
4. $|\bar{z}|=|z|$

On peut aussi, en utilisant la forme conjuguée, trouver la partie réelle ou la partie imaginaire

$$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$$

Racines

Proposition

Si $\omega =\rho e^{i\varphi }\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, alors pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a les racines

$$\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\text{ tel que }{z}^n=\omega \}=\left\{\sqrt[n]{\rho }{e}^{i\frac{\varphi +2k\pi }{n}},k=0,1,2,\dots ,n-1\right\}$$

On peut voir ça par la formule De Moivre, vu que $\omega =z^n$, on a

$$z^n=\sqrt[n]{{\rho }^n}{e}^{in\frac{\varphi +2k\pi }{n}}=\rho e^{i(\varphi +2k\pi )}=\omega$$

On peut visualiser les solutions sur un polygône régulier à $n$ côtés. Par exemple, la racine cubique se trouve sur un triangle équilatéral :

Équations polynomiales complexes

Si on veut trouver les solutions d’une formule de la forme $a{z}^2+bz+c=0$, avec $a,b,c\in \mathbb{C}$, on peut procéder comme dans les réels

$$z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Avec la racine carrée celle d’un nombre complexe. On peut aussi vite voir que si $b^2-4ac=0$, alors on n’a qu’une solution, qui est $z=-\frac{b}{2a}$

Théorème fondamental de l'algèbre

Pour tout polynôme $P(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0=0$, avec les coefficients $a_x\in \mathbb{C}$, on peut l’écrire de la forme

$$P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n)$$

avec tout $z_x\in \mathbb{C}$

On peut donc utiliser cela pour vérifier la divisibilité

Exemple

Le polynôme $z^2+(1-i)z-i=P(z)$ est-il divisible par $(z-i)$ ?

On peut vérifier que $P(i)=0$, ce qui est le cas. Donc vu que $i$ est une racine, alors $z-i$ divise ce polynôme

Polynôme à coefficients réels

Proposition

Si $z\in \mathbb{C}$ est une racine de $P(z)$, un polynôme à coefficients réels (donc où $a_x\in \mathbb{R}$), alors le conjugué $\bar{z}$ est également une racine du polynôme

Corollaire

Tout polynôme à coefficients réels peut donc être factorisé en produit de polynômes réels de degré $1$ ou $2$

On peut voir cela intuitivement en suivant la proposition si dessus, car si $z$ est une racine de ce polynôme, alors $\bar{z}$ l’est également, ce qui implique qu’on peut factoriser le polynôme par $z\bar{z}$, dont le produit est réel => $z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+abi-abi-b^2{i}^2=a^2+b^2$, qui est de degré 2

Si un diviseur est réel, alors son degré est $1$

Sous-ensemble du plan complexe

Pour un complexe $z_0\in \mathbb{C}$ et $r\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, on considère les complexes $\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|=r\}$

Ce sous-ensemble trace un cercle sur le plan de rayon $r$