01.1 Nombres réels -- Ensembles

Définition

Un “ensemble” = une “collection” des objets définis et distincts

On suppose que ces ensembles contiennent que des éléments d’un ensemble universel $U$

Définition

Un sous ensemble (donc un ensemble qui en contient que des éléments de son ensemble parent) est dénoté $X\subset Y$
On dit que

$$\forall x\in X⟹x\in Y$$

Definition

Pour qu’un ensemble soit égal à un autre, on dit

$$X=Y⟺Y\subset X\text{ et }X\subset Y$$

Definition

Un ensemble vide $\varnothing$ est un ensemble qui n’a pas d’éléments

$$\varnothing =\{\}$$

Opérations sur les ensembles

Définition : Réunion

On a la réunion de deux ensembles $X$ et $Y$, tous les éléments qui sont dans $X$ ou dans $Y$ :

$$X\cup Y=\{a\in U\mid a\in X\text{ ou }a\in Y\}$$

Définition : Intersection

On a l’intersection de deux ensembles $X$ et $Y$, tous les éléments qui sont dans $X$ et dans $Y$ :

$$X\cap Y=\{a\in U\mid a\in X\text{ et }a\in Y\}$$

Définition : Différence

On a la différence de deux ensembles $X$ et $Y$, tous les éléments qui sont dans $X$ mais pas dans $Y$ :

$$X\setminus Y=\{a\in U\mid a\in X\text{ et }a\notin Y\}$$

Nombres naturels, rationnels, réels

Naturels

On a l’ensemble des nombres naturels, dénoté $\mathbb{N}$ qui contient tous les nombres entiers positifs.

Propriété de bon ordre

Tout sous-ensemble non vide de $\mathbb{N}$ a un élément qui est le plus petit

Propriété de récurrence

On a $S\subset \mathbb{N}$ tel que

1. $0\in S$
2. Si $n\in S⟹n+1\in S$

Alors on a $S=\mathbb{N}$

Entiers relatifs

Tous les nombres entiers positifs et négatif, dénoté $\mathbb{Z}$

On dit que

$$\forall x\in \mathbb{Z}⟹\exists y\in \mathbb{Z}\text{ tel que }x+y=0$$

Rationels

On a les nombres rationnels les nombres qui peuvent être représentés par des fractions de nombres entiers relatifs, dénoté $\mathbb{Q}$

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\right\}$$

Tout élément dans cet ensemble à un réciproque :

$$\forall x\in Q:x\ne 0⟹\exists y\in \mathbb{Q}\text{ tel que }y=\frac{1}{x}$$

Réels

Les nombres réels sont des nombres à virgules ne se trouvant pas dans $\mathbb{Q}$, dénoté $\mathbb{R}$

$\sqrt{2}$ est dans $\mathbb{R}$

Soit $x\mid x^2=2,x>0$, alors on a $x\notin \mathbb{Q}$

On suppose que $x=\frac{p}{q}$, avec $p,q\in \mathbb{Z},q>0$, avec $q$ le plus petit possible

Alors on a $2=\frac{p^2}{q^2}⟹2q^2=p^2$

Cela implique que $p$ est pair, on peut donc le représenter avec un nombre entier $m$ :

$$p=2m⟹2q^2=p^2=(2m{)}^2=4m^2⟹q^2=2m^2$$

Cela implique que $q$ est également pair

Or si $x=\frac{p}{q}$ et que $\frac{p}{q}=\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}$, ce qui veut dire que $q$ n’était pas minimal

Vu que cela contredit notre supposition initiale, alors $x$ ne peut pas être de la forme $\frac{p}{q}$

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On définit $\mathbb{R}$ par des axiomes (= des suppositions fondamentales qu’on ne peut pas prouver)

1. $\mathbb{R}$ est un corps : un ensemble avec les opérations $+$ et $\cdot$, qui satisfaitles axiomes suivants: $$\begin{array}{lc}\circ (x+y)+z=x+(y+z)& \circ (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)\\ \circ x+y=y+x& \circ x\cdot y=y\cdot x\\ \circ \exists 0\in \mathbb{R}\mid x+0=x& \circ \exists 1\in \mathbb{R}\mid 1\ne 0\text{ et }x\cdot 1=x\\ \circ \forall x\in \mathbb{R}\exists y\in \mathbb{R}\mid x+y=0& \circ \forall x\in \mathbb{R},x\ne 0,\exists y\in \mathbb{R}\mid x\cdot y=1\end{array}$$ $$\circ x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$
2. $\mathbb{R}$ est un corps ordonné (c’est à dire que les éléments se comparent) $$\begin{array}{l}\circ x\le y\text{ et }y\le x,⟹x=y(\text{et vice-versa})\\ \circ x\le y\text{ et }y\le z⟹x\le z\\ \circ x\le y⟹x+z\le y+z\forall z\in \mathbb{R}\\ \circ x\ge 0\text{ et }y\ge 0⟹x\cdot y\ge 0\end{array}$$
3. $\mathbb{R}$ est un corps complet — ou l’axiome de la borne inférieure
   On a pour tout sous-ensemble $S$ non-vide de $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$, il existe un nombre $a\in \mathbb{R}$ tel que
   1. $a\le x$
   2. Quel que soit $ϵ>0$ il existe un élément $x\in S$ tel que $x\le a+ϵ$

Quand ces axiomes sont satisfaits, alors on a un corps commutatif, ordonné et complet

Définition -- bornes supérieures et inférieures

Soit un sous ensemble $S\subset \mathbb{R},S\ne \varnothing$. Alors on a $a\in \mathbb{R}$ le minorant de $S$ si $\forall x\in S$ on a $a\le x$. Si cet élément existe, alors $S$ est minoré

Avec le même sous ensemble, on a le majorant $b\in \mathbb{R}$ de $S$ si $\forall x\in S$ on a $x\le b$. Si cet élément existe, alors $S$ est majoré

Si $S$ est majoré et minoré, alors on dit que $S$ est borné

Définition -- supremum et infimum

Soit le sous ensemble $S\subset \mathbb{R},S\ne \varnothing$. Alors un nombre réel $b\in \mathbb{R}$ qui vérifie

1. $\forall x\in Sx\le b$
2. $\forall ϵ>0$ il existe un élément $x\in S$ tel que $b-x\le ϵ$

Alors $b$ est le supremum (ou borne supérieure) de $S$, noté $b=\sup S$

Pour le même sous ensemble, un nombre $a\in \mathbb{R}$ qui vérifie

1. $\forall x\in Sx\ge a$
2. $\forall ϵ>0$ il existe un élément $x\in S$ tel que $x\le a+ϵ$

Alors $a$ est l’infimum (ou borne inférieure) de $S$, noté $a=\inf S$

Un supremum/infimum ne doit pas forcément être dans ce sous-ensemble

Théorème -- unicité

Tout sous-ensemble majoré de $\mathbb{R}$ admet un supremum qui est unique

Tout sous-ensemble minoré de $\mathbb{R}$ admet un infimum qui est unique

On peut définir des intervalles sur les nombres réels. C’est un ensemble d’éléments qu’on pourrait visualiser sur une droite, du style, tous les nombres entre $a$ et $b$

Ils peuvent être

• bornés : compris entre deux valeurs réelles $[a,b]$
• ou non bornés : vont jusqu’à l’infini $[a,+\infty [$

Et aussi :

• ouverts : une des bornes n’est pas contenue dans l’intervalle $]a,b[$
• ou fermés : la borne est contenue dans l’intervalle $[a,b]$

On trouve le supremum et l’infimum d’un intervalle facilement :
Pour un intervalle borné $[a,b]$, le supremum est $\sup ]a,b]=b$

On peut définir les intervalles par rapport à $\mathbb{R}$ :

• ${\mathbb{R}}_{+}=[0,+\infty [$
• ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }=]0,+\infty [$
• ${\mathbb{R}}_{-}=]-\infty ,0]$
• ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }=]-\infty ,0[$
• ${\mathbb{R}}^{\ast }=]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty [$

Théorème -- la propriété d'archimède

Pour tout couple de nombres réels $(x,y)$ tel que $x>0$ et $y\ge 0$. Alors il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, tel que $nx>y$

Vu que ce théorème est vérifié, on dit que $\mathbb{R}$ est un corps archimédien. Cette propriété tient également pour $\mathbb{Q}$

Théorème

Pour deux nombres $r,q\in \mathbb{Q}$, avec $r<q$, il existe $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ (donc $x$ est irrationnel), tel que $r<x<q$